이 포스트에서는 구간의 길이를 일반화하여 \(\mathbb{R}\)의 부분집합의 체적을 정의하고 그 성질을 살펴본다.
체적이 0인 집합
구간의 길이는 양 끝점 사이의 거리로 정의할 수 있다. 즉 \(I\)가 \[[a,\,b] ,\,\, (a,\,b) ,\,\, [a,\,b) ,\,\, (a,\,b] \] 중 하나의 꼴이고 \(a \le b\)일 때, \(I\)의 길이를 \[\ell (I) = b-a\] 로 정의할 수 있다. 그러나 우리는 구간뿐만 아니라 ‘복잡한’ 집합들을 다루므로, 더 많은 종류의 집합의 체적을 ‘적절히’ 정의해야 한다.
집합의 체적을 정의하는 첫 단계로 원소가 하나인 집합의 크기를 생각해 보자. \(a\)가 실수일 때 \[\left\{ a \right\} = [ a,\,a]\] 이므로 \[\ell ( \left\{ a \right\} ) = a-a = 0\] 으로 정의하는 것이 타당하다. 원소의 수가 유한인 집합은 원소의 수가 하나인 집합을 ‘유한 개’ 합집합한 것이므로, 그러한 집합의 체적 또한 \(0\)으로 정의하는 것이 타당하다.
이제 더 많은 종류의 집합의 체적을 다루기 위해, ‘집합의 체적이 \(0\)이다’라는 성질을 엄밀하게 정의해 보자.
정의 1. \(A\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. \(A\)가 체적이 \(\mathbf{0}\)인 집합(null set)이라는 것은, 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 구간들의 가산 모임 \(\left\{ I_n \,\vert\, n \in \mathbb{N} \right\}\)이 존재하여 \[\sum_{n=1}^\infty \ell(I_n ) < \epsilon\tag{1.1}\] 과 \[A\subseteq \bigcup_{n=1}^\infty I_n\tag{1.2}\] 을 모두 만족시키는 것을 뜻한다. (구간 \(I_n\)들이 서로소일 필요는 없다.)
참고 2. 위 정의에서 ‘구간’을 ‘열린구간’이나 ‘닫힌구간’, 또는 ‘\((a,\,b]\) 꼴인 구간’이나 ‘\([a,\,b)\) 꼴인 구간’으로 바꾸어도 동치인 정의가 된다.
정의에 의하면 공집합은 체적이 \(0\)인 집합이다. 또한 원소를 하나 가진 집합 \(I = \left\{ x \right\}\)는 체적이 \(0\)이다. 왜냐하면, 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(I_1 = ( x- \epsilon / 4 ,\, x+ \epsilon /4 )\)로 두고, \(2\) 이상인 자연수 \(n\)에 대하여 \(I_n = [0,\,0]\)으로 두면 (1.1)과 (1.2)가 모두 성립하기 때문이다.
정리 3. 집합족 \(\left\{ N_n \,\vert\, n\in\mathbb{N} \right\}\)의 모든 원소가 체적이 \(0\)인 집합이면 \[N = \bigcup_{n=1}^\infty N_n\] 도 체적이 \(0\)인 집합이다.
증명
양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\epsilon_n = 2^{-n-2} \epsilon \)이라고 하자. \(N_n\)이 체적이 \(0\)인 집합이므로 구간들의 모임 \[C_n = \left\{ I_k ^{(n)} \,\vert\, k\in\mathbb{N} \right\}\] 이 존재하여 \[\sum_{k=1}^\infty \ell ( I_k ^{(n)} ) < \epsilon_n\] 이면서 \[N_n\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k ^{(n)}\] 을 만족시킨다. \[C = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n \] 이라고 하자. 그러면 \(C\)는 가산집합의 가산합집합이므로 \(C\) 자신 또한 가산집합이다. 또한 \[N \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=1}^\infty I_k ^{(n)}\] 이고 \[\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k^{(n)}) \le \sum_{n=1}^\infty \epsilon_n < \epsilon\] 이다. 그러므로 \(N\)은 체적이 \(0\)인 집합이다.
따름정리 4. 임의의 가산집합은 체적이 \(0\)이다.
따름정리의 역은 성립하지 않는다. 즉 체적이 \(0\)이지만 비가산인 집합이 존재한다.
보기 5. \(0\) 이상 \(1\) 이하인 수 중에서 삼진법인 무한소수로 나타냈을 때 소수점 아래 숫자가 \(0\)과 \(1\) 뿐인 수의 모임을 칸토어 집합이라고 부른다. (단, \(0\)은 무한소수로 나타낼 수 없지만 \(0.000\cdots_{(3)}\)으로 나타내는 것으로 약속한다.) 칸토어 집합을 \(C\)로 나타내자. 칸토어의 대각법을 이용하면 \(C\)가 비가산 집합임을 쉽게 증명할 수 있다.
\(C\)는 기하학적으로 정의할 수도 있다. 수직선에서 \(0\)과 \(1\)을 잇는, 길이가 \(1\)인 선분을 생각하자. 이 선분의 가운데 \(1/3\)을 제거하면 길이가 \(1/3\)인 두 개의 선분이 남는다. (가운데 선분을 제거할 때 경계점은 제거하지 않는 것으로 약속한다.) 남은 두 개의 선분으로 이루어진 집합을 \(C_1\)이라 하자. \(C_1\)을 이루는 두 개의 선분 각각 가운데 \(1/3\) 부분을 제거한다. 그러면 길이가 \(1/9\)인 선분 \(4\)개가 남는다. 이 집합을 \(C_2\)라고 하자. 남은 \(4\)개의 선분 각각 가운데 \(1/3\) 부분을 제거한다. 그러면 길이가 \(1/3^3\)인 선분 \(2^3\)개가 남는다. 이 집합을 \(C_3\)이라고 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 길이가 \(1/3^n\)인 선분 \(2^n\)개로 이루어진 집합 \(C_n\)을 얻는다. \[C = \bigcap_{n=1}^\infty C_n\] 이라고 하면 \(C\)는 칸토어 집합과 일치한다.
이제 \(C\)가 체적이 \(0\)인 집합임을 보이자. 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\left(\frac{2}{3}\right)^n < \epsilon\] 인 자연수 \(n\)을 택하자. 그러면 \(C_n\)은 길이가 \(1/3^n\)인 \(2^n\)개의 구간으로 이루어진 집합이다. \(C_n\)을 이루는 각각의 구간을 \(I_1 ,\) \(I_2 ,\) \(\cdots ,\) \(I_{2^n}\)이라고 하면 \[\ell(I_1) + \ell(I_2) + \cdots + \ell(I_{2^n}) = \left(\frac{2}{3}\right)^n < \epsilon\] 이고 \[C \subseteq C_n = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_{2^n}\] 이다. 그러므로 \(C\)는 체적이 \(0\)인 집합이다.
칸토어 집합을 이용하여 흥미로운 함수를 만들 수 있다. \(x\in [0,\,1]\)이 다음과 같이 삼진법 무한소수로 나타낸다고 하자. \[x =0. a_1 a_2 a_3 \cdots _{(3)}\] (단, \(x=0\)인 경우에만 \(a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = 0\)이라고 하자.) 소수점 아래의 숫자 \(a_i\) 중 \(1\)이 존재한다면 \(a_n = 1\)인 가장 작은 \(n\)을 택하여 \(N\)으로 두자. 만약 \(a_i\) 중 \(1\)이 존재하지 않는다면 \(N = \infty\)로 두자. 이제 \(k < N\)일 때 \[b_k = \frac{a_k}{2}\] 로 두고, \(k \ge N\)일 때 \[b_k = 1\] 로 두자. 그리고 \[F(x) = \sum_{k=1}^N \frac{b_k}{2^k}\] 로 정의하자. 이렇게 정의한 함수 \(F\)를 르베그 함수(Lebesgue function)라고 부른다.
\(F\)는 \([0,\,1]\)에서 단조증가하는 함수이고 \(F(0) = 0 ,\) \(F(1) = 1\)이다. 그런데 \(F\)는 칸토어 집합 위에서만 증가한다. 그러므로 \(F\)는 \([0,\,1]\)의 거의 모든 점에서 상수함수이다. 놀랍게도 \(F\)는 연속인 함수이며 \([0,\,1]\)에서 리만 적분 가능하다.
외측도
앞에서 체적이 \(0\)인 집합을 살펴보았다. 지금 우리는 \(\mathbb{R}\)의 부분집합을 다루므로, 체적이 \(0\)인 집합은 사실 길이가 \(0\)인 집합을 이른다. 이제 더 다양한 집합의 체적을 살펴보자.
정의 6. \(A\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 이때 집합 \[Z_A = \left\{ \sum_{n=1}^\infty \ell(I_n ) \,\bigg\vert \, I_n \text{ are intervals, } A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty I_n \right\}\] 에 대하여 \[m^* (A) = \inf Z_A\] 로 정의된 함수 \(m^*\)를 \(A\)의 외측도(outer measure)라고 부른다.
\(I_n\)들의 합집합이 \(A\)를 포함할 때, \(\left\{ I_n \right\}\)을 \(A\)의 덮개(cover)라고 부른다.
정의 6에서 \(m^*\)의 값은 항상 \(0\) 이상이다. 또한 \(m^*\)의 값은 무한대가 될 수도 있다. 왜냐하면 길이의 합이 유한인 구간으로는 \(A\)를 덮을 수 없는 경우가 존재하기 때문이다. 그러므로 \(m^*\)가 잘 정의된 ‘함수’이려면 무한대 \(\infty\)가 기호일 뿐만 아니라 잘 정의된 원소이어야 한다. 따라서 무한대가 포함된 계산을 정의해야 한다. 즉 \(a\)가 실수일 때 \[\begin{align} a+ \infty &= \infty ,\\[4pt] \infty + \infty &= \infty ,\\[4pt] 0 \times \infty &= 0 \end{align}\] 으로 정의한다.
집합 \(Z_A\)는 \(0\)에 의하여 아래로 유계이다. 그러므로 \(Z_A\)의 하한이 존재한다. 만약 \(r\in Z_A\)이면 \([r ,\, +\inf ] \subseteq Z_A\)이다. 그러므로 \(Z_A\)는 \(\left\{ +\infty \right\}\) 꼴이거나, 적당한 실수 \(x\)에 대하여 \((x ,\, +\infty ]\) 또는 \([x,\, +\infty ]\) 꼴이다.
정리 7. \(A\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. \(A\)가 체적이 \(0\)인 집합일 필요충분조건은 \(m^* (A) =0\)인 것이다.
증명
\(A\)가 체적이 \(0\)인 집합이라고 가정하자. 그리고 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(A\)를 덮으면서 길이의 합이 \(\epsilon\) 미만인 가산 개의 구간들 \(I_n\)이 존재한다. 이 구간들의 길이의 합이 \(Z_A\)에 속하므로 \(Z_A\)는 \(\epsilon\)보다 작은 값을 원소로 가진다. 그러므로 \(\inf Z_A \le \epsilon\)이다. 그런데 \(\inf Z_A \ge 0\)이고 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \(\inf Z_A =0\)이다.
역으로 \(A\)의 외측도가 \(0\)이라고 가정하자. 그리고 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\inf Z_A =0\)이므로 \(Z_A\)에 속하고 크기가 \(\epsilon\)보다 작은 양수 \(r\)가 존재한다. \(Z_A\)의 정의에 의하여 길이의 합이 \(r\)와 같고 \(Z_A\)를 덮는 가산 개의 구간들 \(I_n\)이 존재한다. 이 구간들의 길이의 합이 \(\epsilon\)보다 작으므로 \(A\)는 체적이 \(0\)인 집합이다.
정리 7에 따르면 집합 \(A\)의 외측도가 \(0\)인 것과 집합 \(A\)의 체적이 \(0\)인 것은 같은 의미이다. 그러므로 “체적이 \(0\)이다”라는 표현 대신 “측도가 \(0\)이다”라는 표현만 사용해도 충분하다.
다음으로 외측도가 단조 성질을 가진다는 사실을 살펴보자. 이 정리는 외측도의 성질을 증명할 때 보조정리로서 자주 사용된다.
정리 8. \(A\)와 \(B\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(A\subseteq B\)이면 \(m^* (A) \le m^* (B)\)이다.
증명
\(a = m^* (A),\) \(b = m^* (B)\)라고 하자. 그리고 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(b=\inf Z_B\)이므로 \(Z_B\)의 원소 중에 \(b\le r < b+\epsilon\)인 \(r\)가 존재한다. 따라서 길이의 합이 \(r\)이고 \(B\)를 덮는 가산 개의 구간들 \(I_n\)이 존재한다. \(A\subseteq B\)이므로, 이 구간들 \(I_n\)은 \(A\)를 덮는다. \(r\)가 \(I_n\)들의 길이의 합이므로 \(r\in Z_A\)이다. 그러므로 \[a = \inf Z_A \le r < b+\epsilon\] 이다. 여기서 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \(a \le b\)이다.
체적이 \(0\)인 성질을 외측도가 \(0\)인 것으로 대신 나타낼 수 있는 것처럼, 구간의 길이 또한 외측도를 이용하여 나타낼 수 있다.
정리 9. 구간의 외측도는 그 구간의 길이와 같다.
증명
구간 \(I\)가 주어졌다고 하자.
만약 \(I\)가 유계가 아닌 구간이라면, \(I\)는 길이가 유한인 유한 개의 구간에 덮이지 않는다. 그러므로 \(m^* (I) = \infty\)로서 \(I\)의 외측도가 \(I\)의 길이와 같다.
이제 \(I\)가 유계인 구간이라고 하자.
먼저 \(m^* (I) \le \ell(I)\)임을 보이자. \(I_1 = I\)라고 하고, \(n \ge 2\)일 때 \(I_n = [0,\,0]\)이라고 하면 \(I_n\)들은 \(I\)를 덮는 가산 개의 구간들이며, 길이의 합은 \(\ell(I)\)와 같다. 따라서 \(\ell(I) \in Z_I\)이다. 그런데 \(Z_I\)의 하한이 \(m^*(I)\)이므로 \[m^*(I) \le \ell(I)\]가 성립한다.
다음으로 \(\ell(I) \le m^* (I)\)임을 보이자. \(I=[a,\,b]\)로서 \(I\)가 닫힌구간이라고 하자. 그리고 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 하한의 정의에 의하여 \(I\)를 덮는 가산 개의 구간 \(I_n\)들이 존재하여 \[\sum_{n=1}^\infty \ell(I_n ) \le m^* ( [a,\,b]) + \frac{\epsilon}{2}\] 을 만족시킨다. \(I_n\)의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점을 각각 \(a_n ,\) \(b_n\)이라고 하고, \[J_n = \left( a_n - \frac{\epsilon}{2^{n+2}} ,\, b_n + \frac{\epsilon}{2^{n+2}} \right) \] 이라고 하자. 명백히 \[\ell(I_n ) \ge \ell(J_n ) - \frac{\epsilon}{2^{n+1}}\] 이므로 [\(\epsilon\)이 커서 \(J_n\) 중 공집합이 되면 등식이 성립하지 않을 수도 있다] \[\sum_{n=1}^{\infty} \ell (I_n) \ge \sum_{n=1}^\infty \ell(J_n ) - \frac{\epsilon}{2}\] 이다. 그러므로 \[\sum_{n=1}^\infty \ell(J_n ) \le m^* ([a,\,b]) + \epsilon\] 이 성립한다. \(J_n\)들은 모두 열린 구간이고 \([a,\,b]\)를 덮는다. \([a,\,b]\)가 컴팩트 집합이므로 하이네-보렐 정리에 의하여 \(J_n\) 중에서 유한 개를 적절히 택하여 \([a,\,b]\)를 덮을 수 있다. 그 유한 개의 구간을 \[J_1 ,\, J_2 ,\, J_3 ,\, \cdots ,\, J_m\] 이라고 하자. 그리고 \(J_n = ( c_n ,\, d_n )\)이라고 하자. \[\begin{align} c &=\min \left\{ c_1 ,\, c_2 ,\, \cdots ,\, c_m \right\} ,\\[4pt] d &=\max \left\{ d_1 ,\, d_2 ,\, \cdots ,\, d_m \right\} \end{align}\] 이라고 하면 \(c < a\)이고 \(b < d\)이므로 \(\ell([a,\,b]) < d-c \)이다.
\(n=1,\,2,\,\cdots,\,m\)일 때 \(J_n\)들의 길이의 합이 \(d-c\)보다 크므로 \[\ell([a,\,b]) < d-c < \sum_{n=1}^m \ell (J_n )\] 이다. 지금까지 살펴본 내용을 결합하면 \[\ell([a,\,b]) < m^* ( [a,\,b]) + \epsilon\] 을 얻는다. 여기서 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \[\ell([a,\,b]) \le m^* ( [a,\,b]) \] 이다.
\(I = (a,\,b)\)인 경우에도 같은 부등식이 성립함을 보이자. 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 앞에서 살펴본 부등식을 이용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align} \ell ((a,\,b)) &= \ell \left( \left[ a+ \frac{\epsilon}{2} ,\, b- \frac{\epsilon}{2} \right] \right) +\epsilon \\[4pt] &\le m^* \left( \left[ a+ \frac{\epsilon}{2} ,\, b- \frac{\epsilon}{2} \right] \right) + \epsilon \\[4pt] &\le m^* ((a,\,b)) + \epsilon \end{align}\] 끝으로 \(I = [a,\,b)\) 또는 \(I = (a,\,b]\)인 경우에는 다음을 얻는다. \[\begin{align} \ell(I) &= \ell ((a,\,b)) \\[4pt] &\le m^* ((a,\,b)) \\[4pt] &\le m^* (I). \end{align}\] 그러므로 \(I\)가 유계인 구간일 때 \[\ell (I) \le m^* (I)\] 가 성립한다.
이로써 구간의 길이는 구간의 외측도와 일치한다.
정리 10. 외측도는 가산부분가법적이다. (countably subadditive) 즉 집합열 \(\left\{ E_n \right\}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[m^* \left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) \le \sum_{n=1}^\infty m^* (E_n ) .\] (여기서 부등식의 양변 모두 양의 무한대가 될 수 있다.)
증명
만약 부등식의 우변의 합이 무한대라면, 부등식은 자명하게 참이다. 그러므로 부등식의 우변의 합이 유한이라고 가정하자.
양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(n\)이 자연수라고 하자. 그러면 \(E_n\)을 덮는 가산 개의 구간들의 모임 \(\left\{ I_k ^n \right\}_{k\in\mathbb{N}}\)이 존재하여 다음을 만족시킨다. \[\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k ^n ) \le m^* (E_n ) + \frac{\epsilon}{2^n}\] 다시 \(n\)에 대한 합을 구하면 다음을 얻는다. \[\sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k ^n )\right) \le \sum_{n=1}^\infty m^* (E_n )+ \epsilon < \infty\] 모든 항이 \(0\) 이상인 무한급수이므로, 부등식의 좌변의 이중무한급수는 절대수렴하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[\sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^\infty \ell (I_k ^n ) \right) = \sum_{n,k=1}^\infty \ell(I_k^n ).\] 집합 \[\left\{ I_k^n \,\vert\, k\in\mathbb{N} ,\, n\in\mathbb{N} \right\}\] 에 속한 구간들 전체가 \(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\)을 덮으므로 \[m^* \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) \le \sum_{n,k=1}^\infty \ell(I_k^n ) \le \sum_{n=1}^\infty m^* (E_n ) + \epsilon\] 이 성립한다. 여기서 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 바라는 부등식을 얻는다.
\(A\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(t\)가 실수일 때 다음과 같이 정의한다. \[A+t = \left\{ a+t \,\vert\, a\in A \right\}.\] 다음은 외측도의 기하학적 성질을 설명한다.
정리 11. 외측도는 평행이동에 대하여 불변이다. 즉 \(A\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(t\)가 실수이면 \[m^* (A) = m^* (A+t)\] 이다.
증명
구간을 평행이동해도 길이가 변하지 않는다는 사실로부터 자명하게 얻는다.
예제 12. \(A\)와 \(B\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(m^* (A) =0\)이면 \(m^* (A\cup B) = m^* (B)\)임을 증명하시오.
풀이. 먼저 \[m^* (A \cup B) \le m^* (A) + m^* (B) = 0+ m^* (B) = m^*(B)\] 이고, \(B \subseteq A\cup B\)이므로 \[m^* (A \cup B) \ge m^* (B)\] 이다. 두 부등식을 결합하면 원하는 결과를 얻는다.
예제 13. \(A\)와 \(B\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(m^* ( A \Delta B ) = 0\)이면 \(m^* (A) = m^* (B)\)임을 증명하시오.
풀이. 먼저 \(A \subseteq B \cup (A \Delta B )\)이므로 \[m^* (A) \le m^*(B) + m^* (A\Delta B) = m^* (B)\] 를 얻는다. 같은 방법으로, \(B \subseteq A \cup (A \Delta B )\)이므로 \[m^* (B) \le m^*(A) + m^* (A\Delta B) = m^* (A)\] 를 얻는다. 두 부등식을 결합하면 원하는 등식을 얻는다.