사칙계산이란 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 이릅니다. 다항식도 수와 마찬가지로 사칙계산을 할 수 있습니다. 다항식의 사칙계산의 성질은 수의 사칙계산의 성질과 비슷한 것도 있고 다른 것도 있습니다.
다항식의 차수
덧셈, 뺄셈, 곱셈, 문자, 수로 이루어진 식을 다항식이라고 부릅니다. 물론 이 식의 의미 있게 쓰여 있을 때에만 다항식입니다. 예컨대 \[2x+3xy-4y^2-5\] 은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 문자, 수로 이루어져 있고 식으로서 의미를 가지므로 다항식입니다. \[2++x-y4y5-\] 는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 문자, 수로 이루어져 있지만 의미를 갖는 식이 아니므로 다항식이 아닙니다. 여기서 ‘식이 의미를 가진다’라는 표현은 식에서 문자를 수로 대신하였을 때 그 식을 계산하여 값을 구할 수 있다는 뜻입니다.
하나의 다항식에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 문자, 수가 모두 포함될 필요는 없습니다. 문자와 수 중 하나 이상이 포함되어 있으면 됩니다.
곱셈, 문자, 수로 이루어진 식을 단항식이라고 부릅니다. 모든 단항식은 다항식입니다.
다항식에 덧셈이나 뺄셈이 포함되어 있을 때, 그 다항식은 두 개 이상의 단항식의 합으로 나타낼 수 있습니다. 이 때 그 각각의 단항식을 처음 다항식의 항이라고 부릅니다. 예컨대 다항식 \[2x+3xy-4y^2-5\] 의 항은 \(4\)개인데, 그 항을 모두 나열하면 \[2x ,\,\, 3xy ,\,\, -4y^2,\,\,-5\] 입니다. 여기서 \(2x\)는 하나의 문자가 곱해져 있으므로 일차항이며, \(3xy\)와 \(-4y^2\)은 두 개의 문자가 곱해져 있으므로 이차항입니다. 특히 \(-4y^2\)은 한 가지 종류의 문자 \(y\)만 두 개가 곱해져 있으므로, \(-4y^2\)은 \(y\)에 관한 이차항입니다.
문자가 없는 항은 상수항이라고 부릅니다. 상수항의 차수는 정의하지 않지만, 항의 차수의 크기를 비교할 때 상수항의 차수는 문자를 가진 항의 차수보다 작은 것으로 약속합니다.
다항식을 이루고 있는 항의 차수들 중 가장 큰 것을 그 다항식의 차수라고 부릅니다. 예컨대 다항식 \[2x+3xy-4y^2-5\] 는 \(x\)와 \(y\)에 대한 이차식이며, \(x\)에 대한 일차식, \(y\)에 대한 이차식입니다.
만약 다항식이 하나의 상수항으로만 이루어져 있다면, 그 다항식의 차수는 정의하지 않습니다.
다항식의 정리 방법
다항식을 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것을 ‘그 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다’라고 말하며, 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것을 ‘그 문자에 대하여 오름차순으로 정리한다’라고 말합니다.
예컨대 다음과 같은 다항식을 생각해 봅시다. \[x^3 y + 5xy - 2x^2 y^2 - 3y^2 - xy^2 +y\] 이 다항식을 \(x\)에 대하여 내림차순으로 정리하면 \[x^3 y - 2x^2 y^2 - xy^2 +5xy -3y^2 +y\] 이며, \(x\)에 대하여 오름차순으로 정리하면 \[y -3y^2 + 5xy + - xy^2 - 2x^2 y^2 + x^3 y\] 입니다.
다항식의 덧셈과 뺄셈
두 항의 문자와 차수가 같을 때, 두 항을 동류항이라고 부릅니다.
다항식을 더하거나 뺄 때는 동류항끼리 모아서 계산하면 됩니다. 예컨대 두 다항식 \[\begin{align} A&= x^3 -3x^2 +2x +5 ,\\[5pt] B&= 2x^3 + 3x-1 \end{align}\] 에 대하여 합 \(A+B\)와 차 \(A-B\)는 각각 다음과 같습니다. \[\begin{align} A+B &= (x^3 -3x^2 +2x+5) +(2x^3 +3x-1) \\[5pt] &= x^3 - 3x^2 + 2x+5+2x^3+3x-1 \\[5pt] &= (x^3 + 2x^3) -3x^2 +(2x+3x) + (5-1) \\[5pt] &= 3x^3 - 3x^2 +5x+4,\\[10pt] A-B &= (x^3 -3x^2 +2x+5) -(2x^3 +3x-1) \\[5pt] &= x^3 - 3x^2 + 2x+5 -2x^3-3x+1 \\[5pt] &= (x^3 - 2x^3) -3x^2 +(2x-3x) + (5+1) \\[5pt] &= -x^3 - 3x^2 -x+6. \end{align}\] 다항식의 덧셈은 다음과 같은 성질을 가집니다.
세 다항식 \(A,\) \(B,\) \(C\)에 대하여
- 교환법칙: \(A+B = B+A\)
- 결합법칙: \((A+B)+C = A+(B+C)\)
다항식의 곱셈
다항식을 곱할 땐 분배법칙을 이용하여 식을 전개한 후 동류항끼리 모아서 정리하면 됩니다.
예컨대 두 다항식 \(A = 2x+3 ,\) \(B = 2x^2 -3x+4\)에 대하여 곱 \(AB\)는 다음과 같이 계산합니다. \[\begin{align} AB &= (2x+3)(2x^2 -3x+4) \\[5pt] &= 2x(2x^2 -3x+4) +3(2x^2 -3x+4) \\[5pt] &= 4x^3 - 6x^2 +8x +6x^2 -9x +12 \\[5pt] &= 4x^3 -x+12 . \end{align}\] 다항식의 곱셈은 다음과 같은 성질을 가집니다.
세 다항식 \(A,\) \(B,\) \(C\)에 대하여
- 교환법칙: \(AB=BA\)
- 결합법칙: \((AB)C = A(BC)\)
- 분배법칙: \(A(B+C) = AB+AC,\) \((A+B)C = AC+BC\)
특별한 형태의 다항식의 곱셈은 다음과 같은 곱셈 공식을 이용하면 편리합니다.
곱셈 공식
- \((a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2\) - \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
- \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
- \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\)
- \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
- \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\)
\((a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3\) - \((a+b)(a^2 -ab+b^2) = a^3 + b^3\)
\((a-b)(a^2 +ab+b^2) = a^3 - b^3\)
예제 1.
\(x=2+\sqrt{5},\) \(y=2-\sqrt{5}\)일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
(1) \(x^3 + y^3\)
(2) \(x^3 - y^3\)
풀이.
(1) \(x+y=4,\) \(xy = -1\)이므로 \[\begin{align} x^3 +y^3 &= (x+y)^3 - 3x^2 y - 3xy^2 \\[5pt] &= (x+y)^3 - 3xy(x+y) \\[5pt] &= 4^3 - 3 \times (-1) \times 4 \\[5pt] &= 64 + 12 = 76. \end{align}\]
(2) \(x-y=2\sqrt{5},\) \(xy=-1\)이므로 \[\begin{align} x^3 - y^3 &= (x-y)^3 +3x^2 y - 3xy^2 \\[5pt] &= (x-y)^3 +3xy(x-y) \\[5pt] &= (2\sqrt{5})^3 + 3 \times (-1) \times 2\sqrt{5} \\[5pt] &= 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5}. \end{align}\]
다항식의 나눗셈
다항식 \(A\)를 \(0\)이 아닌 다항식 \(B\)로 나누었을 때의 몫을 \(Q,\) 나머지를 \(R\)라고 하면 다음이 성립합니다. \[A = BQ+R.\] 이때 \(R\)의 차수는 \(B\)의 차수보다 낮습니다. 특히 \(R=0\)일 때, ‘\(A\)는 \(B\)로 나누어떨어진다’라고 말합니다.
예제 2. 다항식 \(A\)를 \(x^2+1\)로 나누었을 때의 몫은 \(x+1\)이고 나머지는 \(-2x+1\)이다. 다항식 \(A\)를 구하시오.
풀이. \[\begin{align} A &= (x^2 +1)(x+1) + (-2x+1)\\[5pt] &= x^3 + x^2 +x +1 -2x+1 \\[5pt] &= x^3 + x^2 -x +2. \end{align}\]