복소수와 이차방정식

실수 범위에서 이차방정식을 풀면 서로 다른 두 근을 얻을 때도 있고 중근을 얻을 때도 있으며, 근이 존재하지 않을 때도 있습니다. 하지만 수의 범위를 확장하면 모든 이차방정식의 근이 존재하게 됩니다.\(\newcommand{\iu}{{\bf{i}}}\)

복소수

제곱하여 \(-1\)이 되는 새로운 수를 생각하여 이것을 \(\iu\)로 나타내고 허수단위라고 부릅니다. 즉 \[\iu^2 =-1\] 입니다. 양의 실수 \(p\)가 있을 때 제곱하여 \(p\)가 되는 실수는 두 개, 즉 \(p\)의 양의 제곱근과 \(p\)의 음의 제곱근이 있습니다. 이러한 관점에서, 제곱하여 \(-1\)이 되는 수도 두 개가 있는데, 둘 중 하나를 \(\iu\)라고 이름 붙이면 다른 하나는 자연스럽게 \(-\iu\)가 됩니다. \(\iu\)와 \(-\iu\)의 역할을 바꾸어도 복소수의 성질을 이야기할 때 전혀 문제가 없습니다.

실수 \(a,\) \(b\)에 대하여 \[a+b\iu\] 의 꼴의 수를 복소수라고 부릅니다. 이때 \(a\)를 \(a+b\iu\)의 실수부분, \(b\)를 \(a+b\iu\)의 허수부분이라고 부릅니다.

복소수 \(a+b\iu\)에서 \(a=0\)일 때 \(0+b\iu\)는 간단히 \(b\iu\)라고 나타내고, \(0\iu = 0\)으로 정의합니다. 또 \(b=0\)일 때, \(a+b\iu\)는 \(a\)이므로 실수 또한 복소수입니다. 한편 \(b\ne 0\)일 때 \(a+b\iu\)는 실수가 아닌 복소수입니다. 실수가 아닌 복소수를 허수라고 부릅니다.

두 복소수에서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 같을 때, 두 복소수는 서로 같다라고 말합니다. 즉 \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(d\)가 실수일 때, 두 복소수 \(a+b\iu,\) \(c+d\iu\)에 대하여 \(a+b\iu = c+d\iu\)일 필요충분조건은 \(a=c ,\) \(b=d\)인 것입니다. 특히 \(a=0 ,\) \(b=0\)일 때 \(a+b\iu =0\)입니다.

복소수 \(z\)의 허수부분의 부호를 바꾼 복소수를 켤레복소수라고 부르고 \(\overline{z}\)와 같이 나타냅니다. 즉 \(a,\) \(b\)가 실수일 때 \[\overline{a+b\iu} = a-b\iu\] 입니다. 그런데 \[\overline{a-b\iu} = a+b\iu\] 이므로 \(a+b\iu\)와 \(a-b\iu\)는 서로 켤레복소수입니다.

서로 다른 실수의 크기를 비교하여 나타낼 때 부등호 \(< \)를 사용할 수 있습니다. 그러나 실수의 대소 관계의 성질이 그대로 보존되도록 복소수의 대소 관계를 정할 수 없습니다. 그러므로 복소수는 크기를 비교하지 않습니다. 그러나 제곱하여 \(-1\)이 되는 수라는 의미로서 \(\iu\)를 \(\sqrt{-1}\)로 나타냅니다.

실수의 경우 \(p > 0\)일 때 제곱하여 \(p\)가 되는 수 중에서 양수인 것을 \(\sqrt{p}\)로 나타내고, 음수인 것을 \(-\sqrt{p}\)로 나타냅니다. 복소수의 경우 양수와 음수의 개념이 없습니다. 그러므로 제곱하여 \(-1\)이 되는 두 수 중 어느 것이 \(\iu\)이고 어느 것이 \(-\iu\)인지 구분하는 것은 그들에게 이름을 붙이기 전까지는 불가능합니다.

복소수의 계산

허수단위 \(\iu\)를 \(\sqrt{-1}\)로 나타내고 제곱근의 성질을 이용하면 복소수의 사칙계산을 할 수 있습니다. \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(d\)가 실수일 때 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 다음과 같이 계산합니다. \[\begin{gather} (a+b\iu) + (c+d\iu) = (a+c) + (b+d)\iu , \\[5pt] (a-b\iu) + (c-d\iu) = (a-c) + (b-d)\iu . \end{gather}\] 복소수의 곱셈은 곱셈 공식과 \(\iu^2 = -1\)을 이용하여 다음과 같이 계산합니다. \[\begin{align} (a+b\iu )(c+d\iu ) &= ac + ad\iu + bd\iu + bd\iu^2 \\[5pt] &= ac + ad\iu + bd\iu - bd \\[5pt] &= (ac-bd) + (ad+bc)\iu. \end{align}\] 복소수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱하여 다음과 같이 계산합니다. \[\begin{align} \frac{a+b\iu}{c+d\iu} &= \frac{(a+b\iu)(c-d\iu)}{(c+d\iu)(c-d\iu)}\\[5pt] &= \frac{(ac+bd) + (bc-ad)\iu}{c^2 + d^2} \\[5pt] &= \frac{ac+bd}{c^2 +d^2} + \frac{bc-ad}{c^2 +d^2}\iu. \end{align}\] 실수의 계산과 마찬가지로 복소수의 계산에서도 다음 성질이 성립합니다.

복소수를 이용하면 음수의 제곱근을 구할 수 있습니다. \(a > 0\)일 때 \(-a\)의 제곱근은 방정식 \(x^2 = -a\)의 근입니다. 그런데 \[(\sqrt a \iu )^2 = -a ,\,\, (-\sqrt{a} \iu )^2 = -a\] 이므로 \(-a\)의 제곱근은 \(\sqrt{a} \iu\)와 \(-\sqrt{a} \iu\)입니다.

일반적으로 음수의 제곱근의 성질은 다음과 같습니다.

이차방정식의 근과 판별식

계수와 상수가 실수인 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 근의 공식 \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] 에서 \(b^2 - 4ac \ge 0\)이면 \(\sqrt{b^2 -4ac}\)는 실수이고 \(b^2 - 4ac < 0\)이면 \(\sqrt{b^2 -4ac}\)는 허수입니다. 그러므로 계수와 상수가 실수인 이차방정식은 복소수 범위에서 항상 근을 가집니다. 이때 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라고 부릅니다. 특히 두 근이 같을 때 이 근을 중근이라고 부릅니다.

이차방정식의 근의 공식을 통해, 계수와 상수가 실수인 이차방정식의 근의 종류는 \[D = b^2 -4ac\] 의 부호에 따라 결정된다는 사실을 알 수 있습니다. 이때 위 식 \(D\)를 이차방정식의 판별식이라고 부릅니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근 \(\alpha,\) \(\beta\)를 \[\begin{align} \alpha &= \frac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a},\\[4pt] \beta &= \frac{-b-\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \end{align}\] 라고 하면, 합 \(\alpha+\beta\)와 곱 \(\alpha\beta\)는 각각 다음과 같습니다. \[\begin{align} \alpha + \beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[4pt] &= - \frac{b}{a} ,\\[8pt] \alpha\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[4pt] &= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} \\[4pt] &= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \\[4pt] &= \frac{c}{a}. \end{align}\] 그러므로 이차방정식 \(ax^2 + bx+c=0\)의 근과 계수의 관계는 다음과 같습니다.

이번에는 두 수 \(\alpha,\) \(\beta\)가 있다고 하고, 이 두 수를 근으로 하고 \(x^2\)의 계수가 \(1\)인 이차방정식을 구해 봅시다. 구하는 방정식을 \[x^2 + bx + c = 0\] 이라고 하면, 근과 계수의 관계로부터 \[\alpha+\beta = -b ,\,\, \alpha\beta = c\] 이므로 \[x^2 + bx + c = x^2 - (\alpha+\beta) x+\alpha\beta = 0\] 입니다. 그러므로 두 수 \(\alpha,\) \(\beta\)를 근으로 하고 \(x^2\)의 계수가 \(1\)인 이차방정식은 다음과 같습니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 이차식을 인수분해할 수 있습니다. 이차방정식 \(ax^2 + bx +c = 0\)의 두 근을 \(\alpha,\) \(\beta\)라고 하면 \[\alpha + \beta = -\frac{b}{a} ,\,\, \alpha \beta = \frac{c}{a}\] 이므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align} ax^2 + bx + c &= a\left( x^2 + \frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\right)\\[4pt] &= a \left\{ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \right\} \\[5pt] &= a(x-\alpha)(x-\beta ). \end{align}\] 그러므로 이차식은 복소수 범위에서 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.