이차방정식과 이차함수의 관계

by Xialin
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이차함수의 근과 이차함수의 그래프의 특징은 밀접한 관련을 가지고 있습니다. 이 글에서 이차함수와 이차방정식을 나타낼 때 모든 계수와 상수는 실수인 것으로 약속합니다.

이차방정식과 이차함수의 관계

이차함수 \(y=ax^2 +bx+c\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 \(x\)좌표는 이차방정식 \(ax^2 +bx+c=0\)의 실근과 같습니다. 그러므로 이차함수 이차함수 \(y=ax^2 +bx+c\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 개수는 이차방정식 \(ax^2 +bx+c=0\)의 실근의 개수와 같습니다. (단, 중근인 경우 근이 하나라고 생각한 것입니다.)

이차방정식의 실근의 개수는 판별식 \(D\)의 부호에 따라 결정됩니다. 따라서 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이차방정식 \(ax^2 +bx+c =0\)의 판별식을 \(D=b^2 -4ac\)라고 하면, 이차함수 \(y=ax^2 +bx+c\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 수는 \(D\)의 부호에 따라 다음과 같다.

  • \(D > 0\)이면 이차함수의 그래프는 \(x\)축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
  • \(D = 0\)이면 이차함수의 그래프는 \(x\)축과 한 점에서 만난다(접한다).
  • \(D < 0\)이면 이차함수의 그래프는 \(x\)축과 만나지 않는다.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이번에는 이차방정식의 판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판별하는 방법을 살펴봅시다. 이차함수와 직선의 방정식을 각각 \[\begin{align} y &= ax^2 +bx +c \tag{1}\\[5pt] y &= mx + n \tag{2} \end{align}\] 이라고 하면, 두 그래프의 교점의 \(x\)좌표는 (1), (2)에서 \(y\)를 소거하여 얻은 이차방정식 \[ax^2 +bx+c = mx+n \tag{3}\] 의 실근과 같습니다. 그런데 (3)을 변형하면 \[ax^2 + (b-m)x + (c-n)=0\tag{4}\] 입니다. (4)의 판별식을 \(D\)라고 하면, \(D\)의 부호에 따라 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 점의 수가 달라집니다.

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

이차방정식 \(ax^2 +bx+c =0\)의 그래프와 직선 \(y=mx+n\)의 위치 관계는 이차방정식 \[ax^2 + (b-m)x +(c-n)=0\] 의 판별식 \(D\)의 부호에 따라 다음과 같다.

  • \(D > 0\)이면 이차함수의 그래프와 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.
  • \(D = 0\)이면 이차함수의 그래프와 직선은 한 점에서 만난다(접한다).
  • \(D < 0\)이면 이차함수의 그래프와 직선은 만나지 않는다.

이차함수의 최댓값과 최솟값

\(x\)의 값의 범위가 실수 전체일 때, 이차함수 \(y=a(x-p)^2 + q\)의 최댓값과 최솟값은 다음과 같습니다.

  • \(a > 0\)이면 이차함수의 그래프가 아래쪽으로 볼록하므로, 주어진 이차함수는 \(x=p\)일 때 최솟값 \(q\)를 가지며, 최댓값은 갖지 않습니다.
  • \(a < 0\)이면 이차함수의 그래프가 위쪽으로 볼록하므로, 주어진 이차함수는 \(x=p\)일 때 최댓값 \(q\)를 가지며, 최솟값은 갖지 않습니다.

이번에는 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법을 살펴봅시다.

\(\alpha < \beta\)이고 \(x\)의 값의 범위가 \(\alpha \le x \le \beta\)일 때, 이차함수 \[y=a(x-p)^2 + q\] 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같습니다.

  • \(\alpha \le p \le \beta\)이면\[x=p,\,\,x=\alpha ,\,\, x=\beta\]의 함숫값 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값입니다.
  • \(p < \alpha\) 또는 \(\beta < p\)이면\[x=\alpha ,\,\, x=\beta\]의 함숫값 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값입니다.