인수분해란 다항식의 곱셈을 반대로 한 것입니다. 나머지 정리와 인수 정리를 이용하면 일차식을 인수로 갖는 다항식을 쉽게 인수분해할 수 있습니다.
항등식
주어진 등식의 문자에 어떤 값을 대입하더라도 항상 성립할 때, 그 등식을 항등식이라고 부릅니다. 항등식은 다음과 같은 성질이 있습니다.
항등식의 성질
- \(ax^2 + bx+c=0\)이 \(x\)에 대한 항등식일 필요충분조건은 \(a=b=c=0\)인 것이다.
- \(ax^2 + bx + c = a' x^2 + b' x + c' = 0\)이 \(x\)에 대한 항등식일 필요충분조건은 \(a=a' ,\) \(b=b' ,\) \(c=c'\)인 것이다.
등식의 양변이 이차식이 아닌 일반적인 다항식일 때 항등식의 성질을 기술하면 다음과 같습니다.
항등식의 성질
\(f(x)\)와 \(g(x)\)가 다항식이라고 하자. \(f(x)=g(x)\)가 항등식일 필요충분조건은 다음 두 조건을 모두 만족시키는 것이다.
- \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 차수가 같다.
- \(f(x)\)와 \(g(x)\)에서 차수가 같은 항의 계수가 서로 같다.
항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 주어지지 않은 계수를 정하는 방법을 미정계수법이라고 부릅니다.
예제 1. 다음 등식이 \(x\)에 대한 항등식이 되도록 \(a,\) \(b,\) \(c\)의 값을 정하시오. \[x^2 +ax+b = (x-1)(x+3) \]
풀이 1.(수치 대입법)
등식의 양변에 \(x=0\)을 대입하면 \(b = -3\)이다. 문제의 등식에 \(b=-3\)을 대입하면 다음과 같다. \[x^2 +ax -3 = (x-1)(x+3)\] 다시 이 등식의 양변에 \(x=1\)을 대입하면 \(1+a-3 = 0\)이므로 \(a=2\)이다.
풀이 2.(계수 비교법)
문제에서 주어진 등식의 우변을 전개하면 \[x^2 +ax+b = x^2 +2x -3\] 이므로 \(a=2 ,\) \(b=-3\)이다.
나머지 정리
항등식의 성질을 이용하면 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 쉽게 구할 수 있습니다.
다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x-\alpha\)로 나누었을 때의 몫을 \(Q(x),\) 나머지를 \(R\)라고 하면 다음이 성립합니다. \[f(x) = (x-\alpha )Q(x) +R.\] 이 등식은 \(x\)에 대한 항등식이므로 \(x=\alpha\)를 대입해도 등식이 성립해야 합니다. \(x=\alpha\)를 대입하여 계산하면 다음과 같습니다. \[f(\alpha ) = 0 \times Q(x) +R = R.\]
나머지 정리
다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x-\alpha\)로 나누었을 때의 나머지는 \(f(\alpha)\)와 같다.
예제 2. 다항식 \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지는 \(7\)이고, \(2x+1\)로 나누었을 때의 나머지는 \(2\)이다. \(f(x)\)를 \((2x+1)(x-2)\)로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
풀이. 다항식 \(f(x)\)를 이차식 \((2x+1)(x-2)\)로 나누었을 때의 몫을 \(Q(x),\) 나머지를 \(ax+b\)라고 하면 \[f(x) = (2x+1)(x-2)Q(x) + (ax+b)\] 이다. 나머지 정리에 의하여 \(f(2) = 7,\) \(f(-1/2) = 2\)이므로 \[\begin{align} f(2) &= 2a+b = 7 , \\[5pt] f\left(- \frac{1}{2} \right) &= -\frac{1}{2} a+b = 2 \end{align}\] 이다. 두 식을 연립하여 풀면 \(a=2 ,\) \(b=3\)이다. 그러므로 구하는 나머지는 \(2x+3\)이다.
인수 정리
다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x-\alpha\)로 나누었을 때의 나머지는 \(f(\alpha)\)이므로, \(f(x)\)가 \(x-\alpha\)로 나누어떨어질 필요충분조건은 \(f(\alpha)=0\)이 됩니다.
인수 정리
다항식 \(f(x)\)가 일차식 \(x-\alpha\)로 나누어떨어질 필요충분조건은 \(f(\alpha)=0\)인 것이다.
예제 3. 다항식 \(x^3 -5x^2 +ax+6\)이 \(x-2\)로 나누어떨어지도록 상수 \(a\)의 값을 정하시오.
풀이. \(f(x)=x^3 -5x^2 +ax+6\)이라고 하자. \(f(2)=0\)이 되어야 하므로 \[f(2) = 8-20+2a+6=0\] 이다. 이 방정식을 풀면 \(a=3\)이다.
인수분해 공식
하나의 다항식을 문자를 가진 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 부릅니다. 곱셈 공식에서 좌변과 우변을 바꾸면 인수분해 공식이 됩니다.
인수분해 공식
- \(a^2 +2ab + b^2 = (a+b)^2\)
\(a^2 -2ab +b^2 = (a-b)^2\) - \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
- \(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)\)
- \(acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)\)
- \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2\)
- \(a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3\)
\(a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3\) - \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab+b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 +ab+b^2)\)
인수분해 공식을 곧바로 이용할 수는 없지만, 적당히 변형하여 인수분해 공식을 이용할 수 있도록 만들 수 있는 식이 있습니다.
예제 4. 다음 식을 인수분해하시오. \[(x^2 +4x)(x^2 +4x-2)-15\]
풀이. \(X = x^2 +4x\)라고 하면 문제의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[\begin{align} (x^2 +4x)(x^2 +4x-2)-15 &= X(X-2)-15 \\[5pt] &= X^2 -2X -15 \\[5pt] &= (X+3)(X-5) \\[5pt] &= (x^2 + 4x + 3)(x^2 +4x -5). \end{align}\]
두 개 이상의 문자를 포함하는 식을 인수분해할 때는 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 살펴보면 좋습니다.
예제 5. 다음 식을 인수분해하시오. \[a^2 (b-c) + b^2 (c-a) + c^2 (a-b)\]
풀이. 문제의 식을 \(a\)에 대하여 내림차순으로 정리하면 다음과 같다. \[\begin{align} (b-c) a^2 - (b^2 - c^2)a + b^2 c - bc^2 &= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) \\[5pt] &= (b-c)\left\{ a^2 - (b+c)a +bc \right\} \\[5pt] &= (b-c) (a-b)(a-c) .\\[5pt] \end{align}\]
인수 정리를 이용한 인수분해
다항식 \(f(x) = x^3 + x^2 -5x+3\)이 계수가 정수인 두 다항식의 곱으로 다음과 같이 인수분해된다고 해봅시다. \[x^3 + x^2 -5x +3 = (x-a)(x^2 +bx+c).\] 이 식은 \(x\)에 대한 항등식이므로 양변에 \(x=0\)을 대입하면 \[3 = -ac\] 즉 \(ac=-3\)입니다. 따라서 정수 \(a\)는 \(\pm 1,\) \(\pm3\) 중 하나입니다. 이 값 중에서 \(f(a)=0\)인 \(a\)의 값을 찾으면 \(x-a\)를 구할 수 있습니다. 예를 들어 \[f(1) = 1+1-5+3 = 0\] 이므로 \(x-1\)은 \(f(x)\)의 인수입니다. 따라서 조립제법을 이용하면 \(f(x)\)를 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다. \[\begin{align} f(x) &= x^3 + x^2 -5x +3 \\[5pt] &= (x-1)(x^2 +2x -3) \\[5pt] &= (x-1)(x+3)(x-1). \end{align}\]
예제 6. 다항식 \(x^3 +ax^2 -5x+6\)이 \(x-3\)으로 나누어떨어지도록 상수 \(a\)의 값을 정하고, 이 다항식을 인수분해하시오.
풀이. \(f(x) = x^3 + ax^2 - 5x +6\)이라고 하면 \(f(3)=0\)이므로 \[27 + 9a - 15 + 6 = 0\] 이다. 이 식을 풀면 \(a=-2\)이다. 즉 문제의 식은 다음과 같다. \[x^3 -2x^2 -5x +6\] 이 식이 \(x-3\)을 인수로 가지므로, 이 식은 다음과 같이 인수분해된다. \[\begin{align} x^3 -2x^2 -5x +6 &= (x-3)(x^2 +x -2) \\[5pt] &= (x-3)(x+2)(x-1). \end{align}\]