이 글에서는 삼차방정식과 사차방정식의 풀이, 연립방정식의 풀이 방법을 살펴봅니다.\(\newcommand{\iu}{{\bf{i}}}\)
삼차방정식과 사차방정식의 풀이
\(f(x)\)가 \(x\)에 대한 삼차식일 때 방정식 \(f(x)=0\)을 삼차방정식이라고 부르고, \(f(x)\)가 \(x\)에 대한 사차식일 때 방정식 \(f(x)=0\)을 사차방정식이라고 부릅니다.
삼차방정식과 사차방정식의 근의 공식이 존재하기는 하지만 매우 복잡하므로 여기서는 인수분해를 이용하여 푸는 방법을 살펴봅니다.
보기 1. 방정식 \(x^3 +8 =0\)을 푸시오.
좌변을 인수분해하면 \[(x+2)(x^2 -2x +4)=0\] 이다. 그러므로 근은 다음과 같다. \[x=-2 \,\,\text{or}\,\, x= 1 \pm \sqrt{3}\iu .\]
보기 2. 방정식 \(x^4 - x^2 - 6 = 0\)을 푸시오.
\(x^2 = X\)로 두면 문제의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[X^2 - X - 6 = 0\] 좌변을 인수분해하면 \[(X-3)(X+2) = 0\] 이므로 \[X=3 \,\,\text{or}\,\,X=-2\] 이다. 그러므로 근은 다음과 같다. \[x=\pm\sqrt{3} \,\,\text{or}\,\, x=\pm\sqrt{2} \iu .\]
보기 3. 방정식 \(x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0\)을 푸시오.
\(x=2\)를 대입하면 좌변이 \(0\)이므로, 문제의 방정식의 좌변은 다음과 같이 인수분해된다. \[(x-2)(x^2 -2x -1) =0\] 그러므로 근은 다음과 같다. \[x=2 \,\,\text{or}\,\, 1 \pm \sqrt{2} .\]
보기 4. 계수가 실수인 사차방정식 \(x^4 + ax^3 + bx^2 - 19x + 10 = 0\)의 한 근이 \(x=1+2\iu\)일 때, 다른 세 근을 구하시오.
계수가 실수인 방정식이 허근을 가지면 그와 켤레복소수인 다른 허근을 가진다 그러므로 \(x=1-2\iu\)는 또 다른 허근이다. 두 허수 \(x=1\pm 2\iu\)을 근으로 갖는 이차방정식은 \(x^2 - 2x + 5 = 0\)이므로, 문제의 방정식의 좌변은 \(x^2 - 2x + 5\)로 나누어 떨어진다.
\(x^4 + ax^3 + bx^2 - 19x + 10\)을 \(x^2 - 2x + 5\)로 나누면 몫은 \[Q(x) = x^2 + (a+2)x + (2a+b-1)\] 이고 나머지는 \[R(x) = (-a+2b-27)x + (-10a -5b +15 )\] 이다. \(R(x)=0\)이 되도록 하려면 \[a = -5 ,\,\, b = 13\] 이어야 한다. 이 두 수를 이용하여 방정식 \(Q(x) = 0\)을 구하면 \[x^2 - 3x + 2 = 0\] 이므로, 다른 두 근은 다음과 같다. \[x=1 \,\, \text{or}\,\, x=2\]
미지수가 3개인 연립일차방정식
미지수가 2개인 연립방정식은 두 방정식에서 하나의 미지수를 소거하여 풉니다. 이와 마찬가지로 미지수가 3개인 연립방정식을 풀 땐 미지수 중 어느 하나를 소거하여 미지수가 2개인 연립방정식으로 만들어 풉니다.
보기 5. 다음 연립방정식을 푸시오. \[\begin{cases} x-y+z = 6 & \cdots \text{(a)} \\[5pt] 4x+3y+z = 20 & \cdots \text{(b)} \\[5pt] x_2y-z=0 & \cdots \text{(c)} \end{cases}\]
(b)-(a)를 하면 \[3x+4y=14 \tag{d}\] 이다. (a)+(c)를 하면 \[2x+y=6 \tag{e}\] 이다. (d)와 (e)를 연립하여 풀면 \(x=2,\) \(y=2\)이다. 이것을 (a)에 대입하면 \(z=6\)이다.
그러므로 구하는 답은 다음과 같다. \[x=2,\,\,y=2,\,\,z=6.\]
미지수가 2개인 연립일차방정식과 마찬가지로 미지수가 3개인 연립일차방정식도 해가 무수히 많거나 해가 없는 경우가 있습니다.
보기 6. 다음 연립방정식을 푸시오. \[\begin{cases} x+y+2z=3 & \cdots \text{(a)} \\[5pt] 3x+4y-z=2 & \cdots \text{(b)} \\[5pt] 4x+2y+z=-4 & \cdots \text{(c)} \end{cases}\]
(a)+(b)를 하면 \[4x+2y+z=5\tag{d}\] 이다. 그런데 (c)-(d)에서 좌변은 \(0,\) 우변은 \(-9\)이므로 등식이 성립할 수 없다. 그러므로 주어진 연립방정식의 해는 없다.
보기 7. 다음 연립방정식을 푸시오. \[\begin{cases} x+y-z=5 & \cdots \text{(a)} \\[5pt] 2x-y+2z=-1 & \cdots \text{(b)} \\[5pt] 3x+z=4 & \cdots \text{(c)} \end{cases}\]
(a)+(b)를 하면 \[3x+z=4\tag{d}\] 이다. 이때 (c)와 (d)는 일치하므로 이것을 만족시키는 \(x,\) \(z\)의 값은 하나로 정해지지 않는다. 여기에서 \(x=k\)라고 하면 (d)에서 \[z=4-3k\] 이다. \(x=k,\) \(z=4-3k\)를 (a)에 대입하면 \(y=9-4k\)이다. 그러므로 구하는 해는 \[x=k ,\,\,y=9-4k,\,\,z=4-3k \,\, (k\in\mathbb{R})\] 이며, 해가 무수히 많다.
미지수가 2개인 연립이차방정식
연립방정식에서 차수가 가장 높은 방정식이 이차방정식일 때, 이 연립방정식을 연립이차방정식이라고 부릅니다.
이차방정식과 일차방정식으로 이루어진 연립이차방정식을 풀 땐 먼저 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입하여 풉니다.
보기 8. 다음 연립방정식을 푸시오. \[\begin{cases} x+y=14 & \cdots \text{(a)} \\[5pt] x^2 + y^2 = 100 & \cdots \text{(b)} \end{cases}\]
(a)로부터 \(y=14-x\)를 얻는다. 이 식을 (b)에 대입하면 \[x^2 + (14-x)^2 = 100\] 이며, 이 이차방정식을 풀면 다음과 같다. \[x=6 \,\,\text{or}\,\,x=8.\] 두 값을 각각 (a)에 대입하면, 구하는 연립방정식의 해는 다음과 같다. \[\begin{matrix} \cases{x=6\\[5pt]y=8} & \quad\text{or}\quad & \cases{x=8\\[5pt]y=6} \end{matrix}\]
두 개의 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식은 한 이차방정식으로부터 두 개의 일차방정식을 얻은 뒤 일차방정식과 이차방정식의 연립방정식으로 만들어 풉니다.
보기 9. 다음 연립방정식을 푸시오. \[\begin{cases} 2x^2 +3xy -2y^2 =0 & \cdots \text{(a)} \\[5pt] x^2 + y^2 = 5 & \cdots \text{(b)} \end{cases}\]
(a)의 좌변을 인수분해하면 \((x+2y)(2x-y)=0\)이므로 이 식으로부터 다음과 같은 두 개의 일차식을 얻는다. \[x=-2y \,\,\text{or}\,\,y=2x.\tag{c}\] (c)의 첫 번째 일차식을 (b)에 대입하여 풀면 \[\begin{matrix} \cases{x=2\\[5pt]y=-1} & \quad\text{or}\quad & \cases{x=-2\\[5pt]y=1} \end{matrix}\] 이며, (c)의 두 번째 일차식을 (b)에 대입하여 풀면 \[\begin{matrix} \cases{x=1\\[5pt]y=2} & \quad\text{or}\quad & \cases{x=-1\\[5pt]y=-2} \end{matrix}\] 이다.