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유계인 구간의 길이는 실수로 나타낼 수 있다. 그러나 유계가 아닌 구간의 길이는 실수로 나타낼 수 없다. 모든 구간의 길이를 수로 나타내기 위하여 실수계를 확장하자. 지금부터는 \(\infty\)와 \(-\infty\)를 확장된 수로 보자.…

가측집합의 정의에 따르면 어떤 집합이 가측인지 판별하기 쉽지 않다. 이 포스트에서는 \(\mathfrak{M}\)이 다양한 연산에 대하여 닫혀있음을 보임으로써 우리가 다루는 많은 집합이 가측집합임을 보일 것이다. 정리 1. \(\sigma\)-대수의 교집합은 \(\sigma\)-대수이다. 증명…

이 포스트에서는 Lebesgue 측도의 성질을 살펴보자. Lebesgue 측도는 외측도의 정의역을 축소한 함수이므로, 몇몇 성질은 외측도의 성질로부터 바로 얻어진다. 정리 1. \(A,\,B \in \mathfrak{M}\)이라고 하자. 만약 \(A\subseteq B\)이면 \(m(A) \le m(B)\)이다.…

이 포스트에서는 Lebesgue 측도를 정의하고 간단한 성질을 살펴본다. 측도를 정의하기 전에 먼저 크기를 측정할 수 있는 집합, 즉 가측집합을 정의하자. 정의 1. \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의 집합 \(A\subseteq…

이 포스트에서는 구간의 길이를 일반화하여 \(\mathbb{R}\)의 부분집합의 체적을 정의하고 그 성질을 살펴본다. 체적이 0인 집합 구간의 길이는 양 끝점 사이의 거리로 정의할 수 있다. 즉 \(I\)가 \([a,\,b] ,\,\, (a,\,b) ,\,\,…

이 글에서는 삼차방정식과 사차방정식의 풀이, 연립방정식의 풀이 방법을 살펴봅니다.\(\newcommand{\iu}{{\bf{i}}}\) 삼차방정식과 사차방정식의 풀이 \(f(x)\)가 \(x\)에 대한 삼차식일 때 방정식 \(f(x)=0\)을 삼차방정식이라고 부르고, \(f(x)\)가 \(x\)에 대한 사차식일 때 방정식 \(f(x)=0\)을 사차방정식이라고 부릅니다.…

이차함수의 근과 이차함수의 그래프의 특징은 밀접한 관련을 가지고 있습니다. 이 글에서 이차함수와 이차방정식을 나타낼 때 모든 계수와 상수는 실수인 것으로 약속합니다. 이차방정식과 이차함수의 관계 이차함수 \(y=ax^2 +bx+c\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는…

실수 범위에서 이차방정식을 풀면 서로 다른 두 근을 얻을 때도 있고 중근을 얻을 때도 있으며, 근이 존재하지 않을 때도 있습니다. 하지만 수의 범위를 확장하면 모든 이차방정식의 근이 존재하게 됩니다.\(\newcommand{\iu}{{\bf{i}}}\) 복소수…

인수분해란 다항식의 곱셈을 반대로 한 것입니다. 나머지 정리와 인수 정리를 이용하면 일차식을 인수로 갖는 다항식을 쉽게 인수분해할 수 있습니다. 항등식 주어진 등식의 문자에 어떤 값을 대입하더라도 항상 성립할 때, 그…

사칙계산이란 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 이릅니다. 다항식도 수와 마찬가지로 사칙계산을 할 수 있습니다. 다항식의 사칙계산의 성질은 수의 사칙계산의 성질과 비슷한 것도 있고 다른 것도 있습니다. 다항식의 차수 덧셈, 뺄셈, 곱셈,…