가측집합의 정의에 따르면 어떤 집합이 가측인지 판별하기 쉽지 않다. 이 포스트에서는 \(\mathfrak{M}\)이 다양한 연산에 대하여 닫혀있음을 보임으로써 우리가 다루는 많은 집합이 가측집합임을 보일 것이다.
정리 1. \(\sigma\)-대수의 교집합은 \(\sigma\)-대수이다.
증명
\(\left\{ \mathcal{F}_\alpha \,\vert\, \alpha \in \Lambda \right\}\)가 \(\sigma\)-대수의 모임이라고 하자. (여기서 \(\Lambda\)는 임의의 집합이다.) \[\mathcal{F} = \bigcap_{\alpha\in\Lambda} \mathcal{F}_\alpha\] 라고 하자. 이제 \(\mathcal{F}\)가 \(\sigma\)-대수의 조건을 만족시킴을 보이자.
먼저 임의의 \(\alpha\in\Lambda\)에 대하여 \(\mathbf{R}\in\mathcal{F}_\alpha\)이므로 \(\mathbb{R}\in\mathcal{F}\)이다.
다음으로 \(E\in\mathcal{F}\)이면 임의의 \(\alpha\in\Lambda\)에 대하여 \(E\in\mathcal{F}_\alpha\)이다. \(\mathcal{F}_\alpha\)가 \(\sigma\)-대수이므로 \(E^c\in\mathcal{F}_\alpha\)이다. 그러므로 \(E^c\in\mathcal{F}\)이다.
끝으로 \(E_k\in\mathcal{F},\) \(k=1,\,2,\,\cdots\)라고 하자. 그러면 임의의 \(\alpha\)와 \(k\)에 대하여 \(E_k\in\mathcal{F}_\alpha\)이므로, 모든 \(\alpha\)에 대하여 \(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{F}_\alpha\)이다. 그러므로 \(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{F}\)이다.
정의 1. 다음과 같이 정의된 집합 \(\mathfrak{B}\)를 모든 구간에 의하여 생성된 \(\sigma\)-대수라고 부른다. \[\mathfrak{B} = \bigcap \left\{ \mathcal{F} \,\vert\, \mathcal{F}\text{ is a }\sigma\text{-field containing all intervals.}\right\}.\] 그리고 \(\mathfrak{B}\)의 원소를 Borel 집합이라고 부른다.
명백히 \(\mathfrak{B}\)는 모든 구간을 원소로 갖는 가장 작은 \(\sigma\)-대수이다.
일반적으로 \(\mathfrak{G}\)가 \(\mathcal{A}\)에 의하여 생성된 \(\sigma\)-대수라는 것은 \[\mathfrak{G} = \bigcap\left\{ \mathcal{F} \,\vert\, \mathcal{F}\text{ is a }\sigma\text{-field such that }\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}.\right\}\] 임을 의미한다.
예제 1. \(\mathbb{R}\)의 대부분의 부분집합이 \(\mathfrak{B}\)의 원소라는 사실을 보일 때 \(\mathfrak{B}\)의 닫힌 성질(closure property)이 어떻게 사용되는지 살펴보자.
- \(\mathfrak{B}\)의 정의에 의하여 모든 구간은 \(\mathfrak{B}\)에 속한다. 그런데 \(\mathfrak{B}\)가 \(\sigma\)-대수이고 모든 열린집합은 열린 구간의 가산 합집합으로 나타낼 수 있으므로, 모든 열린집합은 \(\mathfrak{B}\)에 속한다.
- 가산집합은 \([a,\,a]\) 꼴의 구간들의 가산 합집합이므로, 모든 가산집합은 \(\mathfrak{B}\)에 속한다. 특히 \(\mathbb{N}\)이나 \(\mathbb{Q}\)는 Borel 집합이다. \(\mathfrak{B}\)가 여집합 연산에 닫혀 있으므로 무리수 전체 집합 또한 Borel 집합이다. 마찬가지로 유한집합과 여유한집합 또한 Borel 집합이다.
다른 방법으로 \(\mathfrak{B}\)를 구성할 수 있다. 예컨대 반열린구간들을 모두 원소로 갖는 가장 작은 \(\sigma\)-대수나, 혹은 닫힌구간들을 모두 원소로 갖는 가장 작은 \(\sigma\)-대수를 생각해도, 이 또한 \(\mathfrak{B}\)가 된다.
정리 2. 닫힌구간들을 모두 원소로 갖는 가장 작은 \(\sigma\)-대수는 \(\mathfrak{B}\)와 같다. 닫힌구간을 \((a,\,\infty),\) \([a,\,\infty ),\) \((-\infty,\,b)\) 또는 \((-\infty,\,b]\) 꼴의 구간으로 바꾸어도 같은 결과를 얻으며, 열린집합, 닫힌집합으로 바꾸어도 같은 결과를 얻는다.
증명
열린구간들의 모임 \(OI\)에 의하여 생성된 \(\sigma\)-대수 \(C\)를 생각해 보자. \[C = \bigcap \left\{ \mathcal{F} \supseteq OI \,\vert\, \mathcal{F}\text{ is a }\sigma\text{-field}\right\}.\] 모든 구간들의 모임을 \(I\)라고 하자. 열린구간은 구간이므로 \(OI\subseteq I\)이다. 따라서 \[\left\{ \mathcal{F} \supseteq I \right\} \subseteq \left\{\mathcal{F} \supseteq OI \right\}\] 이므로 교집합의 성질에 의하여 \(\mathcal{C}\subseteq\mathfrak{B}\)이다.
이제 \(\mathcal{C}\)가 모든 구간을 원소로 가짐을 보여야 한다. 이를 위해서는 반열린구간과 닫힌구간이 모두 \(\mathcal{C}\)에 속함을 보이면 된다. 그런데 \[\begin{align} [a,\,b) &= \bigcap_{n=1}^\infty \left( a- \frac{1}{n} ,\, b \right), \\[5pt] [a,\,b] &= \bigcap_{n=1}^\infty \left( a- \frac{1}{n} ,\, b+ \frac{1}{n} \right), \\[5pt] (a,\,b] &= \bigcap_{n=1}^\infty \left( a ,\, b+ \frac{1}{n} \right) \end{align}\] 이므로 유계인 반열린구간과 닫힌구간이 모두 \(\mathcal{C}\)에 속한다. 유계가 아닌 구간의 경우에도 마찬가지 방법으로 모두 \(\mathcal{C}\)에 속함을 보일 수 있다.
\((a,\,b]\) 꼴의 구간들의 모임에 의하여 생성된 \(\sigma\)-대수와 \([a,\,b)\) 꼴의 구간들의 모임에 의하여 생성된 \(\sigma\)-대수가 \(\mathfrak{B}\)와 일치한다는 사실도 같은 방법으로 증명된다.
\(\mathfrak{M}\)이 모든 구간을 원소로 갖는 \(\sigma\)-대수이고 \(\mathfrak{B}\)가 그러한 \(\sigma\)-대수 중 가장 작은 것이므로 \(\mathfrak{B}\subseteq\mathfrak{M}\)이다. 즉 \(\mathbb{R}\)의 Borel 부분집합은 Lebesgue-가측이다. 더욱이 Lebesgue-가측집합 중에서 Borel 집합이 아닌 것이 존재한다(여기서 자세히 논하지는 않겠다). 하지만 임의의 \(E\in\mathfrak{M}\)에 대하여 Borel 집합 \(B\)가 존재하여 \(B\supseteq E\)이면서 \(B=\bigcap_n O_n\)과 같이 열린집합의 교집합으로 표현되고 \(m(E) = m(B)\)를 만족시킨다. (즉 집합으로서 \(B\)에 감소수렴하는 집합열 \((O_n)\)이 존재하며, 이 집합열의 측도는 \(E\)에 수렴한다.) 특히 \[m(B\Delta E) = m(B\setminus E)=0\] 이다. 그러므로 측도 \(m\)의 관점에서 보면 가측집합 \(E\)와 Borel 집합 \(B\)의 차이가 없다.
그러므로 Lebesgue-가측집합 \(E\)가 주어지면 \(E\Delta B\)의 체적이 \(0\)이 되도록 하는 Borel 집합 \(B\)가 존재한다. 즉 \(E\Delta B\in \mathfrak{M}\)을 만족시킨다. 하지만 체적이 \(0\)인 모든 집합이 Borel 집합임은 보장되지 않는다. 즉 \(\mathfrak{B}\)는 완비가 아니다. 이 때문에 측도 \(m\)을 \(\mathfrak{B}\) 위에서만 정의하는 것은 불완전하며, 더 큰 집합인 \(\mathfrak{M}\) 위에서 정의해야 한다.
우리는 \(\mathfrak{M}\)이 바라는 성질을 갖는 가장 작은 \(\sigma\)-대수임을 보일 것이다. 즉 \(\mathfrak{M}\)은 \(\mathfrak{B}\)를 포함하고 체적이 \(0\)인 집합을 모두 갖는 가장 작은 \(\sigma\)-대수임을 보일 것이다. 이것은 곧 \(\mathfrak{M}\)이 \(\mathfrak{B}\)의 완비화(completion)임을 의미한다.
측도공간 \((X,\,\mathcal{F} ,\, \mu )\)가 완비라 함은 \(\mu (F) =0\)인 모든 \(F\in\mathcal{F}\)와 임의의 \(N\subseteq F\)에 대하여 \(N\in \mathcal{F}\)가 성립하는 것, 즉 \(\mu(N)=0\)이 성립하는 것을 의미한다.
측도 \(\mu\)에 대한, \(\sigma\)-대수 \(\mathfrak{G}\)와 왼비화(completion)란 \(\mathfrak{G}\)를 포함하고, \(N\subseteq G \in \mathfrak{G},\) \(\mu(G)=0\)인 모든 \(N\)을 원소로 갖는 \(\sigma\)-대수 \(\mathcal{F}\)를 이른다.
정리 3. \(\mathfrak{G}\)의 완비화는 \[\left\{ G\cup N \,\vert\, G\in\mathcal{F} ,\, N\subseteq F\in \mathcal{F}\text{ with }\mu(F) =0\right\}\] 의 꼴이다.
위와 같은 방법을 통하여, 측도 \(\mu\)가 주어졌을 때 \(G\in\mathfrak{G}\)에 대하여 \(\bar{\mu} (G\cup N) = \mu (G)\)로 정의함으로써 \(\mu\)를 \(\mathcal{F}\) 위에서의 측도 \(\bar{\mu}\)로 확장할 수 있다.
정리 4. \(\mathfrak{M}\)은 \(\mathfrak{B}\)의 완비화이다.
증명
먼저, \(\mathfrak{B}\)에 속하는 체적이 \(0\)인 집합의 임의의 부분집합이 \(\mathfrak{M}\)에 속함을 보이자. \(N\subseteq B\in \mathfrak{B}\)이고 \(B\)가 체적이 \(0\)인 잡힙아록 하자. 그리고 \(A\subseteq \mathbb{R}\)라고 가정하자. \(N\in\mathfrak{M}\)임을 보이려면 \[m^* (A) \ge m^* (A\cap N) + m^* (A\cap N^c )\] 임을 보여야 한다. 명백히 \[m^* (A\cap N) \le m^* (N) \le m^* (B) =0\] 이므로 \[m^*(A) \ge m^* (A\cap N^c )\] 임을 보이면 충분하다. 그런데 이 부등식은 \(m^*\)가 단조라는 사실로부터 곧바로 얻어진다. 이로써 \(N\in\mathfrak{M}\)이 증명되었다.
\(\mathfrak{B}\)의 완비화를 \(\mathcal{C}\)라고 하면, \(\mathfrak{M}\)이 \(\mathfrak{B}\)를 포함하는 완비인 \(\sigma\)-대수이므로 \(\mathcal{C}\subseteq\mathfrak{M}\)이다. 이로써 \(\mathfrak{M}\subseteq\mathcal{C}\)임을 보이는 일이 남았다. \(m^*(E) < \infty\)인 \(E\in\mathfrak{M}\)가 주어졌다고 하자. 그리고 \(B=\bigcap_n O_n \in\mathfrak{B}\)이면서 \(B\supseteq E,\) \(m(B) = m^* (E)\)인 \(B\)를 택하자.
\(N=B\setminus E \in \mathfrak{M},\) \(m^* (N)=0\)인 \(N\)을 생각하자. \(m^*\)이 \(\mathfrak{M}\)에서 가법적이므로 \(L\supseteq N ,\) \(L\in\mathfrak{B},\) \(m(L)=0\)인 \(L\)을 찾을 수 있다. 즉 \(N\)은 \(\mathfrak{B}\)에 속하고 체적이 \(0\)인 집합의 부분집합이다. 그러므로 \(E=B\setminus N\)은 \(\mathcal{C}\)에 속한다.
\(m^*(E) = \infty\)인 \(E\in\mathfrak{M}\)에 대해서는 \(E_n = E\cap [-n ,\,n],\) \(n\in\mathbb{N}\)으로 두자. 각 \(m^* (E_n)\)이 유한이므로 모든 \(E_n\)은 \(\mathcal{C}\)에 속한다. 그러므로 이 집합들의 가산합집합인 \(E\)도 \(\mathcal{C}\)에 속한다.
임의의 가측집합은 그 집합을 덮는 열린집합을 이용하여 근사시킬 수 있는 것처럼, 그 집합에 포함되는 닫힌집합을 이용하여 근사시킬 수 있다.
정리 5. \(E\in\mathfrak{M}\)이라고 하자. 그러면 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 닫힌집합 \(F\subseteq E\)가 존재하여 \(m(E\setminus F)< \epsilon\)을 만족시킨다. 즉 닫힌집합 \(F_n\)의 합집합 \(B=\bigcup_{n}F_n\) 꼴로 나타나는 집합 \(B\subseteq E\)가 존재하여 \(m(E\setminus B)=0\)을 만족시킨다.
증명
여집합 \(E^c\)가 가측이므로 \(E^c\)를 덮는 열린집합 \(O\)가 존재하여 \(m(O\setminus E^c ) < \epsilon\)을 만족시킨다. 그런데 \[O\setminus E^c = O\cap E = E\setminus O^c\] 이고 \(F = O^c\)가 닫힌집합이며 \(E\)에 포함되므로 \(F\)는 우리가 바라는 집합이다.
정리의 후반부는 Lebesgue 측도의 성질 정리 3의 증명괴 비슷하다.
예제 2. 다음 두 명제가 각각 \(E\in\mathfrak{M}\)과 동치임을 보이시오.
- 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 열린집합 \(O\supseteq E\)가 존재하여 \(m^* (O\setminus E)< \epsilon\)을 만족시킨다.
- 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 닫힌집합 \(F\subseteq E\)가 존재하여 \(m^* (E\setminus F)< \epsilon\)을 만족시킨다.
풀이. 만약 \(E\)가 가측이면 주어진 조건을 만족시키는 \(O\)와 \(F\)가 존재한다. 역으로 \(\epsilon = 1/n\)이라고 하고 \[m^* \left(\bigcap O_n \setminus E \right) =0 ,\quad m^* \left(E\setminus\bigcup F_n \right)=0\] 인 열린집합열 \(O_n\)과 닫힌집합열 \(F_n\)을 생각하면 \(E\)는 적당한 Borel 집합과 측도가 \(0\)만큼 차이나는 집합이다. 그러므로 \(E\in\mathfrak{M}\)이다.
위 예제의 두 명제는 측도론과 위상수학을 연결하는 다리 역할을 한다.
\(\mathfrak{B}\) 위에서 정의된, 음이 아니고 가산가법적인 집합함수 \(\mu\)가 임의의 Borel 집합 \(B\)에 대하여 두 조건 \[\begin{align} \mu(B) &= \inf\left\{ \mu(O) \,\vert\, O\text{ is open, }O\supseteq B\right\},\\[5pt] \mu(B) &= \sup\left\{ \mu(F) \,\vert\, F\text{ is closed, }F\subseteq B \right\} \end{align}\] 을 모두 만족시키면 \(\mu\)를 정칙 Borel-측도(regular Borel-measure)라고 부른다.
우리가 지금까지 살펴본 정리에 의하면 Lebesgue 측도는 정칙 Borel-측도이다.