이 포스트에서는 Lebesgue 측도를 정의하고 간단한 성질을 살펴본다.
측도를 정의하기 전에 먼저 크기를 측정할 수 있는 집합, 즉 가측집합을 정의하자.
정의 1. \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의 집합 \(A\subseteq \mathbb{R}\)에 대하여 \[m^* (A) = m^* (A \cap E) + m^* ( A \cap E^c )\tag{1}\] 가 성립하면 \(E\)를 가측집합(measurable set)이라고 부른다. (단, \(E^c\)는 \(\mathbb{R} \setminus E\)를 나타낸다.)
가측집합들의 모임을 \(\mathfrak{M}\)으로 나타낸다.
\(A\)와 \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합일 때, \(A = (A\cap E) \cup (A\cap E^c )\)이므로 \[m^* (A) \le m^* (A\cap E) + m^* ( A\cap E^c )\] 이다. 그러므로 \(E\in\mathfrak{M}\)임을 보이려면 (1)을 증명하는 대신 임의의 \(A\subseteq\mathbb{R}\)에 대하여 \[m^* (A) \ge m^* (A\cap E) + m^* (A \cap E^c )\tag{2}\] 이 성립함을 보이면 된다.
정리 2.
[1] 체적이 \(0\)인 집합은 가측집합이다.
[2] 구간은 가측집합이다.
증명
[1] \(N\)이 체적이 \(0\)인 집합이라고 하자. 그러면 \(m^* (N)=0\)이다. 그러므로 임의의 \(A\subseteq\mathbb{R}\)에 대하여 \[\begin{matrix} m^* (A\cap N) \le m^* (N) = 0 \,\,&\,\, (\because \,\, A\cap N \subseteq N), \\[4pt] m^* (A\cap N^c )\le m^* (A) \,\,&\,\, (\because \,\, A\cap N^c \subseteq A) \end{matrix}\] 이다. 두 부등식을 변마다 더하면 (2)를 얻는다.
[2] \(E= I\)가 구간이라고 하자. \(I = [a,\,b]\)로서 \(I\)가 닫힌구간이라고 해도 일반성을 잃지 않는다. 집합 \(A\subseteq \mathbb{R}\)와 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(A\)를 덮는 구간들 \(I_n\)이 존재하여 \[m^* (A) \le \sum_{n=1}^\infty \ell(I_n ) \le m^* (A) + \epsilon\] 을 만족시킨다. \(I_n ' = I_n \cap [a,\,b]\)라고 하면 구간 \(I_n ' \)들은 \(A\cap [a,\,b]\)를 덮는다. 따라서 \[m^* (A\cap [a,\,b])\le \sum_{n=1}^{\infty} \ell (I_n ' )\] 이 성립한다. 구간 \(I_n '' = I_n \cap (-\infty ,\, a),\)과 \(I_n ''' = I_n \cap ( b ,\, +\infty )\)들이 \(A\cap [a,\,b]^c\)을 덮으므로 \[m^* (A\cap [a,\,b]^c ) \le \sum_{n=1}^\infty \ell (I_n ' ' ) + \sum_{n=1}^\infty \ell (I_n ' ' ' )\] 이 성립한다. 지금까지 얻은 세 부등식을 결합하면 (2)를 얻는다.
만약 \(I\)가 유계가 아닌 구간이라면, 예컨대 \(I = [a,\,\infty )\)라면 \(I_n ' = I_n \cap [a,\,\infty )\)와 \(I_n ' ' = ( - \infty ,\, a)\)만 생각하면 되므로 증명이 더 간단해진다.
다음 정리는 \(\mathfrak{M}\)이 우리가 바라는 성질을 가지고 있음을 설명한다.
정리 3. \(\mathfrak{M}\)은 다음과 같은 성질을 가진다.
- \(\mathbb{R}\in\mathfrak{M},\)
- \(E\in\mathfrak{M}\)이면 \(E^c \in\mathfrak{M}\)이다,
- 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(E_n \in\mathfrak{M}\)이면, \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \in\mathfrak{M}\)이다.
더욱이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(E_n\in\mathfrak{M}\)이고, \(j\ne k\)일 때마다 \(E_j \cap E_k = \varnothing\)이면, \[m^* \left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^* (E_n )\tag{3}\] 이 성립한다.
정리 3의 세 조건을 모두 만족시키는 집합 \(\mathfrak{M}\)을 \(\sigma\)-대수(\(\sigma\)-field)라고 부른다. 또한 함수 \(m^*\)이 (3)의 성질을 가질 때, “가산가법적이다(countably additive)”라고 말한다. \(\sigma\)-대수 위에서 정의되고 음이 아닌 실수를 함숫값으로 가지며 (가산가법적인 함수를 측도(measure)라고 부른다.
정리 3의 증명. [1] \(A\subseteq\mathbb{R}\)라고 하자. \(A\cap\mathbb{R} = A\)이고 \(\mathbb{R}^c = \varnothing\)이므로 \(A\cap\mathbb{R}^c = \varnothing\)이다. \(m^* (\varnothing) = 0\)이므로 \[m^* (A) = m^* (A) + m^* (\varnothing)\] 이 성립한다.
[2] \(E\in\mathfrak{M}\)이라고 하고 \(A\subseteq\mathbb{R}\)가 주어졌다고 하자. \((E^c )^c = E\)이므로 \[m^* (A) = m^* (A\cap E^c ) + m^* (A\cap (E^c )^c )\] 이 성립한다.
[3] 세 번째 성질을 증명하는 과정은 다소 길다. 몇 단계로 나누어 증명하자.
1단계. \(E_1 \cap E_2 = \varnothing ,\) \(E_1 \in \mathfrak{M} ,\) \(E_2 \in \mathfrak{M}\)이라고 하자. 이러한 가정 하에 \(E_1 \cup E_2 \in\mathfrak{M}\)이고 \(m^* (E_1 \cup E_2 ) = m^* (E_1 ) + m^* (E_2 )\)가 성립함을 보이자.
\(A\subseteq\mathbb{R}\)라고 하자. 그러면 \[m^* (A) = m^* (A\cap E_1 ) + m^* (A\cap E_1 ^c )\tag{4}\] 이다. 등식 (1)에서 \(A\) 대신 \(A\cap E_1 ^c \)를 대입하면 다음을 얻는다. \[\begin{align} m^* (A\cap E_1 ^c ) &= m^* ((A\cap E_1 ^c ) \cap E_2 ) + m^* ((A\cap E_1 ^c )\cap E_2 ^c ) \\[5pt] &= m^* (A\cap (E_1 ^c \cap E_2 )) + m^* (A\cap (E_1 ^c \cap E_2 ^c )) .\end{align}\] \(E_1\)과 \(E_2\)가 서로소이므로 \(E_1 ^c \cap E_2 = E_2 \)이다. 또한 드모르간의 법칙에 의하여 \(E_1 ^c \cap E_2 ^c = (E_1 \cup E_2 )^c\)이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[m^* (A\cap E_1 ^c ) = m^* (A\cap E_2 ) + m^* (A\cap (E_1 \cup E_2 )^c ).\] 이 등식과 (4)를 결합하면 다음을 얻는다. \[m^* (A) = m^* (A\cap E_1 ) + m^* (A\cap E_2 ) + m^* (A\cap (E_1 \cup E_2 )^c ).\tag{5}\] \(m^*\)의 부분가법성을 이용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align} m^* (A\cap E_1 ) + m^* (A\cap E_2 ) &\ge m^* ((A\cap E_1 )\cup (A\cap E_2 )) \\[5pt] &= m^* (A\cap (E_1 \cup E_2 )) \end{align}\] 그러므로 (5)에 의하여 다음이 성립한다. \[m^* (A) \ge m^* (A\cap (E_1 \cup E_2 )) + m^* (A\cap (E_1 \cup E_2 )^c )\] 이로써 \(E_1 \cup E_2 \in \mathfrak{M}\)을 얻는다. 또한 (5)에 \(A = E_1 \cup E_2\)를 대입하면 \[m^* (E_1 \cup E_2 ) = m^* (E_1 ) + m^* (E_2 )\] 를 얻는다.
2단계. \(E_k ,\) \(k=1,\,2,\,\cdots,\)가 쌍마다 서로소인 집합들이고 모두 \(\mathfrak{M}\)에 속한다고 하자. 1단계의 결과와 수학적 귀납법을 이용하면 자연수 \(n\)에 대하여 다음을 얻는다. \[\begin{gather} \bigcup_{k=1}^n E_k \in \mathfrak{M} ,\\[2pt] m^*\left( \bigcup_{k=1}^n E_k \right) = \sum_{k=1}^n m^* (E_k ). \end{gather}\] \[\left(\bigcup_{k=1}^n E_k \right)^c \supseteq \left( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)^c\] 이므로 다음을 얻는다. \[m^* (A) \ge \sum_{k=1}^n m^* (A\cap E_k ) + m^* \left( A\cap \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)^c \right).\] 여기에 \(n\rightarrow\infty\)인 극한을 취하면 다음을 얻는다. \[m^* (A) \ge \sum_{k=1}^\infty m^* (A\cap E_k ) + m^* \left( A\cap \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)^c \right).\tag{6}\] 외측도의 부분가법성을 이용하면 다음을 얻는다. \[\sum_{k=1}^\infty m^* (A\cap E_k ) \ge m^* \left(A\cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k \right).\] 그러므로 다음이 성립한다. \[m^* (A) \ge m^* \left(A\cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) + m^* \left(A\cap \left( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)^c \right).\tag{7}\] 이로써 \(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathfrak{M}\)이 증명되었다.
(6)의 우변은 (7)의 우변보다 크거나 그와 같다. 그런데 가측집합의 정의에 의하여 (7)의 우변은 \(m^*(A)\)와 같다. 그러므로 다음이 성립한다. \[m^*(A) = \sum_{k=1}^\infty m^* (A\cap E_k ) + m^* \left(A\cap \left(\bigcup_{k=1}^\infty \right)^c \right).\tag{8}\] 위 등식에 \(A=\bigcup_{j=1}^\infty E_j\)를 대입하면 (3)을 얻는다.
3단계. \(E_k ,\) \(k=1,\,2,\,\cdots\)가 모두 \(\mathfrak{M}\)에 속한다고 하자. (이 집합들이 쌍마다 서로소일 필요는 없다.) \[\begin{align} B_1 &= E_1 ,\\[3pt] B_2 &= E_2 \setminus E_1 ,\\[3pt] B_3 &= E_3 \setminus (E_1 \cup E_2 ) ,\\[3pt] &\vdots \\[3pt] B_n &= E_n \setminus (E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_{n-1} ) ,\\[3pt] &\vdots \end{align}\] 이라고 하면 \(B_k\)들은 쌍마다 서로소이고 \(\mathfrak{M}\)에 속하며 \[\bigcup_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{k=1}^\infty B_k\] 이다. 2단계의 결과에 의하여 등식의 우변이 가측집합이므로 좌변도 가측집합이다.
정리 3의 (2), (3)과 드모르간의 법칙에 의하여 다음을 얻는다.
따름정리 4. \(E_k\)들이 가산 개의 가측집합이면 \[\bigcap_{k=1}^\infty E_k \in \mathfrak{M}\] 이다.
지금까지 살펴본 내용을 요약하면 다음과 같다.
\(\mathfrak{M}\)은 가산 합집합, 가산 교집합, 여집합 연산에 대하여 닫혀있다. 또한 모든 구간과 체적이 \(0\)인 집힙은 \(\mathfrak{M}\)에 속한다.
이제 비로소 측도를 정의할 준비가 되었다.
정의 5. \(E\in\mathfrak{M}\)일 때 \(m(E) = m^* (E)\)로 정의한다. 이때 \(m(E)\)를 \(E\)의 Lebesgue 측도(Lebesgue measure)라고 부른다.
Lebesgue 측도의 정의와 성질은 다음과 같이 요약할 수 있다.
Lebesgue 측도 \(m : \mathfrak{M} \rightarrow [0,\, \infty]\)는 가측 집합들의 \(\sigma\)-대수 \(\mathfrak{M}\)에서 정의된 가산가법적인 집합함수이다. 구간의 Lebesgue 측도는 구간의 길이와 같으며, 체적이 \(0\)인 집합의 Lebesgue 측도는 \(0\)이다.