이 포스트에서는 Lebesgue 측도의 성질을 살펴보자.
Lebesgue 측도는 외측도의 정의역을 축소한 함수이므로, 몇몇 성질은 외측도의 성질로부터 바로 얻어진다.
정리 1. \(A,\,B \in \mathfrak{M}\)이라고 하자.
- 만약 \(A\subseteq B\)이면 \(m(A) \le m(B)\)이다.
- 만약 \(A\subseteq B\)이고 \(m(A) < \infty\)이면 \(m(B\setminus A ) = m(B) - m(A)\)이다.
- \(m\)은 평행이동에 대하여 불변이다.
\(\varnothing \in \mathfrak{M}\)이므로 \(i > n\)일 때 \(E_i = \varnothing\)으로 두면 가산가법성으로부터 유한가법성을 얻을 수 있다. 즉 \(E_i \in \mathfrak{M}\)이면 다음이 성립한다. \[m\left( \bigcup_{i=1}^n E_i \right) = \sum_{i=1}^n m (E_i ).\]
예제. \(m(A\cap B) < \infty\)일 때 \[m(A \cup B ) = m(A) + m(B) - m(A \cap B)\] 이다. 마찬가지로 \(m(A\cap B) < \infty ,\) \(m(B\cap C) < \infty ,\) \(m(A\cap C) < \infty \)일 때 \[\begin{align} m(A \cup B \cup C) &= m(A) + m(B) + m(C)\\[4pt] & - m(A\cap B) - m(B\cap C) - m(C \cap A) + m(A\cap B\cap C) \end{align}\] 이다.
대칭차집합은 \(A\Delta B = (A \setminus B) \cup (B\setminus A)\)로 정의된 집합이다.
정리 2. \(A\in\mathfrak{M} ,\) \(m(A\Delta B)=0\)이면 \(B\in \mathfrak{M}\)이고 \(m(A) = m(B)\)이다.
증명.
만약 \(m(A) = \infty\)라면 자명하게 결과를 얻는다. 그러므로 \(m(A) < \infty\)라고 가정하자.
집합 \(C\)가 임의로 주어졌다고 하자. \((A\setminus B)\cap C\)와 \((B\setminus A) \cap C\)가 모두 \(A\Delta B\)의 부분집합이고 측도가 \(0\)인 집합이므로 다음을 얻는다. \[\begin{align} m^* (C\setminus B) &= m^* (C\setminus A) + m^* ((A\setminus B)\cap C) - m^* ((B\setminus A)\cap C) \\[5pt] &= m^*(C\setminus A), \\[5pt] m^* (C\cap B) &= m^* (C\cap A) - m^* ((A\setminus B)\cap C) + m^* ((B\setminus A)\cap C) \\[5pt] &= m^*(C\cap A). \end{align}\] 따라서 \[m^* (C\setminus B) + m^* (C\cap B) = m^* (C\setminus A) + m^* (C\cap A) = m^* (C)\] 이다. 즉 \(B\)는 가측집합이다. 더욱이 \(A\setminus B\)와 \(B \setminus A\)가 모두 \(A\Delta B\)의 부분집합이고 측도가 \(0\)인 집합이므로 \[\begin{align} m(A) &\le m(A\cup B) = m(B) + m(A\setminus B) = m(B), \\[5pt] m(B) &\le m(A\cup B) = m(A) + m(B\setminus A) = m(A) \end{align}\] 이다. 그러므로 \(m(A) = m(B)\)이다.
\(\mathbb{R}\)의 부분집합 중 열린집합은 서로소인 가산 개의 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 그러므로 \(\mathbb{R}\)의 열린 부분집합은 Lebesgue 가측집합이다. 더욱이 가측인 집합 \(A\in\mathfrak{M}\)는 \(A\)를 덮는 열린 집합들의 열을 이용하여 근사시킬 수 있다.
정리 3. 가측집합은 열린집합으로 근사시킬 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
- 임의의 양수 \(\epsilon\)과 집합 \(A\subseteq \mathbb{R}\)에 대하여 열린집합 \(O\)가 존재하여 \[A\subseteq O ,\quad m(O) \le m^* (A) + \epsilon\] 을 만족시킨다. 즉 임의의 \(E\in\mathfrak{M}\)에 대하여 \(E\)를 포함하는 열린집합 \(O\)가 존재하여 \(m(O\setminus E) < \epsilon\)을 만족시킨다.
- 임의의 \(A\subseteq\mathbb{R}\)에 대하여 열린집합의 가산열 \(O_n\)이 존재하여 \[A\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}} O_n ,\quad m \left( \bigcap_{n\in\mathbb{N}} O_n \right) = m^* (A)\] 를 만족시킨다.
증명.
[1] 외측도 \(m^* (A)\)의 정의에 의하여 구간들의 열 \((I_n )\)이 존재하여 \[A\subseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n ,\quad \sum_{n=1}^\infty \ell(I_n ) - \frac{\epsilon}{2} \le m^* (A)\] 를 만족시킨다. 각 \(I_n\)은 길이가 \(I_n\)의 길이에 가까운 열린구간에 포함된다. 즉 만약 \(I_n\)의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점을 각각 \(a_n ,\) \(b_n\)이라고 할 때 \[J_n = \left( a_n - \frac{\epsilon}{2^{n+2}} ,\, b_n + \frac{\epsilon}{2^{n+2}} \right)\] 이라고 정의하자. \[O = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} J_n\] 이라고 하면 \(O\)는 열린집합이고 \(A\subseteq O\)이며 \[m(O) \le \sum_{n=1}^{\infty} \ell (J_n ) \le \sum_{n=1}^{\infty} \ell (I_n ) + \frac{\epsilon}{2} \le m^* (A) + \epsilon\] 을 만족시킨다. 만약 \(m(E) < \infty\)라면 \[m(O\setminus E) = m(O) - m(E) \le\epsilon\] 이므로 정리 1의 [3]에 의하여 본 정리의 [2]를 얻는다.
다음으로 \(m(E) = \infty\)인 경우를 증명하기 위하여 \(\mathbb{R}\)를 가산 개의 유계인 구간의 합집합으로 나타내자. \[\mathbb{R} = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} (-n ,\,n).\] 각 \(E_n = E\cap (-n ,\,n)\)의 측도는 유한이므로 \(E_n\)을 덮는 열린집합 \(O_n\)이 존재하여 \[m(O_n \setminus E_n ) \le \frac{\epsilon}{2^n}\] 을 만족시킨다. 따라서 \(O = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} O_n\)은 \(E\)를 덮는 열린집합이다. 또한 \[O\setminus E = \left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} O_n \right) \setminus \left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_n \right) \subseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}} ( O_n \setminus E_n )\] 이므로 \[m(O\setminus E ) \le \sum_{n=1}^\infty m(O_n \setminus E_n )\le \epsilon\] 이 성립한다.
[2] 앞의 [1]에서 \(\epsilon = 1/n\)으로 두고 얻어진 열린집합을 \(O_n\)이라고 하자. \(E = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} O_n\)이라고 하면 \(A\)를 포함하고 각 자연수 \(n\)에 대하여 \[m(E) < m(O_n ) \le m^* (A) + \frac{1}{n}\] 을 만족시키는 가측집합 \(O_n\)을 얻는다.
끝으로 가측집합들의 단조열의 측도가 가진 성질을 살펴보자.
정리 4. 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(A_n \in \mathfrak{M}\)이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- 임의의 \(n\)에 대하여 \(A_n \subseteq A_{n+1}\)이면 \[m\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right) = \lim_{n\rightarrow\infty} m(A_n )\] 이 성립한다.
- 임의의 \(n\)에 대하여 \(A_n \supseteq A_{n+1}\)이고 \(m(A_1 ) < \infty\)이면 \[m\left( \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n \right) = \lim_{n\rightarrow\infty} m(A_n )\] 이 성립한다.
증명.
[1] \(B_1 = A_1 \) 그리고 \(i > 1\)일 때 \(B_i = A_i - A_{i-1}\)이라고 두자. 그러면 \[\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i = \bigcup_{i=1}^\infty A_i\] 이고 각 \(B_i\)는 가측이며 쌍마다 서로소이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[\begin{align} m\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) &= m\left( \bigcup_{i=1}^\infty B_i \right) \\[4pt] &= \sum_{i=1}^\infty m(B_i ) \\[4pt] &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n m(B_i ) \\[4pt] &= \lim_{n\rightarrow\infty} m\left( \bigcup_{n=1}^n B_i \right) \\[4pt] &= \lim_{n\rightarrow\infty} m(A_n ) \end{align}\]
[2] 각 \(n\)에 대하여 \[A_1 \setminus A_1 = \varnothing \subseteq A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots \subseteq A_1 \setminus A_n \subseteq \cdots \] 이므로 [1]에 의하여 다음을 얻는다. \[m\left(\bigcup_{n=1}^\infty \left(A_1 \setminus A_n \right) \right) = \lim_{n\rightarrow\infty} m(A_1 \setminus A_n ).\] 여기서 \(m(A_1 ) < \infty\)이므로 \[m(A_1 \setminus A_n ) = m(A_1 ) - m(A_n )\] 이다. 한편 \[\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1 \setminus A_n ) = A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\] 이므로 \[\begin{align} m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1 \setminus A_n )\right) &= m(A_1 ) - m\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right) \\[4pt] &= m(A_1 ) - \lim_{n\rightarrow\infty} m(A_n ) \end{align}\] 이 성립한다.
위 정리의 증명은 \(m\)의 가산가법성과 \([0,\,\infty ]\)에서 무한급수의 합의 정의만 사용한다. 즉 \[\sum_{i=1}^\infty m(A_i ) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n m(A_i )\] 이다. 이러한 결과는 \(\mathfrak{M}\) 위에서 정의된 함수 \(m\)뿐만 아니라 \(\sigma\)-대수 위에서 정의된 가산가법적인 모든 함수에 적용할 수 있다.
정리 5. 함수 \(m\)은 다음을 만족시킨다.
- \(m\)은 유한가법적이다. 즉 쌍마다 서로소인 열 \((A_i )\)와 각 \(n\)에 대하여 \[m\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n m(A_i )\] 가 성립한다.
- \(m\)은 \(\varnothing\)에서 연속이다. 즉 \((B_n )\)이 감소하고 \(\varnothing\)에 수렴하는 집합열이면 \(m(B_n )\)은 \(0\)에 감소수렴한다.
증명.
함수 \(m : \mathfrak{M} \mapsto [0,\,\infty ]\)이 가산가법적이므로 [1]이 성립한다. 이제 [2]를 증명하자. \((B_n )\)이 감소하고 \(\varnothing\)에 수렴하는 가측집합열이라고 하자. \(A_n = B_n \setminus B_{n+1}\)이라고 하면 \((A_n )\)은 쌍마다 서로소인 가측집합열이며 \[\bigcup_{n=1}^\infty A_n = B_1\] 이다. 일반성을 잃지 않고 \(B_1\)이 유계라고 가정하자. 그러면 각 \(n\)에 대하여 \(m(B_n )\)은 유한이며 \[m(A_n ) = m(B_n ) - m(B_{n+1}) \ge 0\] 이다. 따라서 \[\begin{align} m(B_1) &= \sum_{n=1}^\infty m(A_n ) \\[4pt] &= \lim_{k\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^k [m(B_n ) - m(B_{n+1})]\ \\[4pt] &= m(B_1 ) - \lim_{n\rightarrow\infty} m(B_n ) \end{align}\] 이 성립한다. 그러므로 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(m(B_n ) \rightarrow 0\)이다.