Measurable Set

유계인 구간의 길이는 실수로 나타낼 수 있다. 그러나 유계가 아닌 구간의 길이는 실수로 나타낼 수 없다. 모든 구간의 길이를 수로 나타내기 위하여 실수계를 확장하자. 지금부터는 \(\infty\)와 \(-\infty\)를 확장된 수로 보자.…

가측집합의 정의에 따르면 어떤 집합이 가측인지 판별하기 쉽지 않다. 이 포스트에서는 \(\mathfrak{M}\)이 다양한 연산에 대하여 닫혀있음을 보임으로써 우리가 다루는 많은 집합이 가측집합임을 보일 것이다. 정리 1. \(\sigma\)-대수의 교집합은 \(\sigma\)-대수이다. 증명…

이 포스트에서는 Lebesgue 측도의 성질을 살펴보자. Lebesgue 측도는 외측도의 정의역을 축소한 함수이므로, 몇몇 성질은 외측도의 성질로부터 바로 얻어진다. 정리 1. \(A,\,B \in \mathfrak{M}\)이라고 하자. 만약 \(A\subseteq B\)이면 \(m(A) \le m(B)\)이다.…

이 포스트에서는 Lebesgue 측도를 정의하고 간단한 성질을 살펴본다. 측도를 정의하기 전에 먼저 크기를 측정할 수 있는 집합, 즉 가측집합을 정의하자. 정의 1. \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의 집합 \(A\subseteq…